卷一 步法
圆径求周
2
∗
π
∗
r
=
3
∗
2
∗
r
4
0
∗
1
!
+
1
2
∗
3
∗
2
∗
r
4
1
∗
3
!
+
1
2
∗
3
2
∗
3
∗
2
∗
r
4
3
∗
5
!
+
1
2
∗
3
2
∗
5
2
∗
7
2
∗
9
2
∗
11
2
∗
13
2
∗
15
2
∗
17
2
∗
19
2
∗
3
∗
2
∗
r
4
1
0
∗
21
!
{\displaystyle 2*\pi *r={\frac {3*2*r}{4^{0}*1!}}+{\frac {1^{2}*3*2*r}{4^{1}*3!}}+{\frac {1^{2}*3^{2}*3*2*r}{4^{3}*5!}}+{\frac {1^{2}*3^{2}*5^{2}*7^{2}*9^{2}*11^{2}*13^{2}*15^{2}*17^{2}*19^{2}*3*2*r}{4^{1}0*21!}}}
+…………
可以改写成
π
3
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
−
1
)
!
!
)
2
4
n
∗
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n-1)!!)^{2}}{4^{n}*(2n+1)!}}}
[3]。
此展开式被清代数学家称为“杜氏第一术”，出自牛顿。
弧背求正弦
杜氏九术之二，出自格列高里:[4].
弧背为a,半径为r,通弦为c
c
2
=
r
s
i
n
(
α
)
=
a
−
a
3
3
!
∗
r
2
−
a
5
5
!
∗
r
4
+
a
7
7
!
∗
r
6
+
{\displaystyle {\frac {c}{2}}=rsin(\alpha )=a-{\frac {a^{3}}{3!*r^{2}}}-{\frac {a^{5}}{5!*r^{4}}}+{\frac {a^{7}}{7!*r^{6}}}+}
……
弧背求正矢
“杜氏九术”之三，出自格列高里
b
=
r
v
e
r
s
α
=
a
2
2
!
∗
r
−
a
4
4
!
∗
r
3
+
a
6
6
!
∗
r
5
+
{\displaystyle b=rvers\alpha ={\frac {a^{2}}{2!*r}}-{\frac {a^{4}}{4!*r^{3}}}+{\frac {a^{6}}{6!*r^{5}}}+}
…………
弧背求通弦
2
∗
π
∗
r
=
2
∗
a
−
(
2
a
)
3
4
∗
3
!
∗
r
2
+
(
2
∗
a
)
5
4
2
∗
5
!
∗
r
4
+
(
2
∗
a
)
7
4
3
∗
7
!
∗
r
6
{\displaystyle 2*\pi *r=2*a-{\frac {(2a)^{3}}{4*3!*r^{2}}}+{\frac {(2*a)^{5}}{4^{2}*5!*r^{4}}}+{\frac {(2*a)^{7}}{4^{3}*7!*r^{6}}}}
+……
弧背求矢
h
=
(
2
∗
a
)
2
4
∗
2
!
∗
r
−
(
2
∗
a
)
4
4
2
∗
4
!
∗
r
+
(
2
∗
a
)
6
4
3
∗
6
!
∗
r
{\displaystyle h={\frac {(2*a)^{2}}{4*2!*r}}-{\frac {(2*a)^{4}}{4^{2}*4!*r}}+{\frac {(2*a)^{6}}{4^{3}*6!*r}}}
+…………
通弦求弧背
出自明安图：
2
a
=
∑
n
=
0
∞
[
(
2
n
−
1
)
!
!
]
2
∗
c
2
n
+
1
4
n
∗
(
2
n
+
1
)
!
∗
r
2
n
{\displaystyle 2a=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n-1)!!]^{2}*c^{2n+1}}{4^{n}*(2n+1)!*r^{2n}}}}
[5]。
正弦求弧背
出自明安图
a
=
∑
n
=
0
∞
[
(
2
n
−
1
)
!
!
]
2
∗
(
r
∗
s
i
n
α
)
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
∗
r
2
n
{\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n-1)!!]^{2}*(r*sin\alpha )^{2n+1}}{(2n+1)!*r^{2n}}}}
[6]。
正矢求弧背
a
2
=
∑
n
=
0
∞
(
n
!
)
2
∗
(
2
b
)
n
+
1
(
2
n
+
2
)
!
∗
r
n
−
1
{\displaystyle a^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}*(2b)^{n+1}}{(2n+2)!*r^{n-1}}}}
[7]。
矢求弧背
(
2
a
)
2
=
∑
n
=
0
∞
2
∗
(
n
!
)
2
∗
(
8
∗
r
∗
v
e
r
s
α
)
n
+
1
4
n
∗
(
2
n
+
2
)
!
∗
r
n
−
1
{\displaystyle (2a)^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2*(n!)^{2}*(8*r*vers\alpha )^{n+1}}{4^{n}*(2n+2)!*r^{n-1}}}}
[8]。
余弧求正弦正矢
r
v
e
r
s
(
90
−
α
)
=
r
c
v
e
r
s
(
α
)
{\displaystyle rvers(90-\alpha )=rcvers(\alpha )}
r
−
r
c
o
v
e
r
s
(
α
)
=
r
s
i
n
(
α
)
{\displaystyle r-rcovers(\alpha )=rsin(\alpha )}
r
s
i
n
(
90
−
α
)
=
r
c
o
s
(
α
)
{\displaystyle rsin(90-\alpha )=rcos(\alpha )}
r
−
r
c
o
s
(
α
)
=
r
v
e
r
s
(
α
)
{\displaystyle r-rcos(\alpha )=rvers(\alpha )}
余矢余弦求本弧
借弧背求正弦余弦
借正弦余弦求弧背
卷二 用法
角度求八线
直线三角形边角相求
弧线三角形边角相求
卷三 法解上
分弧通弦率数求全弧通弦率图解
明安图镇此书中最先运用卡塔兰数
弧背求通弦图解
分弧通弦率数求全弧通弦率法解
弧背求通弦法解
通弦求弧背法解
弧背正弦相求法解
卷四 法解下
分弧正矢率数求全弧正矢率数法解
弧背求正矢法解
正矢求弧背法解
弧矢相求法解
弧矢弦正余互用法解
借弧背求正弦余弦法解
借正弦余弦求弧背法解